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一阶电路的零输入响应

发布时间:2020-07-21 17:56:43 阅读: 来源:腰靠厂家

仅含一个独立储能元件的电路称为一阶电路。当电路中没有激励,仅由储能元件的初始储能引起的响应,称为零输入响应。

一、RC电路的零输入响应

如图8-4-1所示电路,开关S原在位置1,电路已达稳态,电压源电压为,则。在时刻,S由1切换至2,下面推求零输入响应、。

图8-4-1

当,S切换至2后,由得:

(式8-4-1)

将代入上式得:

(式8-4-2)

(式8-4-2)是一个一阶线性常系数齐次微分方程,其特征方程为:

特征根为:

齐次方程的通解为:

(式8-4-3)

(式8-4-3)中的积分常数A由初始条件确定。由换路定则得:,代入(式8-4-3),则有:

于是:

(式8-4-4), (式8-4-5)

(式8-4-5)中的负号表示实际的电容放电电流方向与假设的参考方向相反。还可以这样求,即:

图8-4-2绘出了、的曲线图,它们都按指数规律衰减。

图8-4-2

在(式8-4-4)和(式8-4-5)中,含,具有时间的量纲,因而称为电路的时间常数。当C为1法拉,R为1欧姆时,为1秒。时间常数的大小反映了过渡过程进展的快慢。越大,过渡过程维持的时间越长、过渡过程进行得越慢;越小,过渡过程维持的时间越短、过渡过程进行得越快。

下面以电容电压的衰减曲线为例,介绍求时间常数的图解法。在图8-4-3中,从衰减曲线上任一点P作切线,它与t轴的交点为,从P点作t轴的垂直线,与t轴的交点为P’,则:

通过实验得出或i的衰减曲线,再由图解法求出,这在实际工作中是一种有用的方法。

图8-4-3

时间常数的大小取决于电路的结构和参数,而与激励无关。串联电路的时间常数。R、C愈大,愈大。当R一定、C愈大,则电容C上储存的初始能量越大,放电时间愈长;当C一定、R愈大,则放电电流愈小,放电时间愈长。

二、电路的零输入响应

如图8-4-4所示电路,电压源电压为,开关S原置于位置1,且电路已达稳态,此时电感相当于短接,。当时,开关S由1切换至2,求零输入响应、。

图8-4-4

开关切换至2后,如图8-4-4选定参考方向,由得到:

(式8-4-7)

(式8-4-7)是一个一阶线性常系数齐次微分方程,其特征方程为:

特征根为:

(式8-4-8)

齐次方程的通解为:

(式8-4-9)

(式8-4-9)中的积分常数A由初始条件确定。

由换路定则:

(式8-4-10)

由(式8-4-9):

于是:

, (式8-4-11)

可见换路后,电流从初值按指数规律衰减,最终衰减至零,如图8-4-5所示。

图8-4-5

电阻电压:

(式8-4-12)

电感电压:

(式8-4-13)

、相差一个负号,两者的变化规律都与电流相同。它们随时间变化曲线亦示于图8-4-5中。

在(式8-4-11)至(式8-4-13)中,含,具有时间的量纲,当R为1欧姆,L为1亨利,则为1秒,与电路中的时间常数一样,它反映了过渡过程进展的快慢。

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